Δείτε μια ευχάριστη παρουσίαση της έννοιας των διαφορικών εξισώσεων. Διαφορική εξίσωση είναι μια μαθηματική εξίσωση που συσχετίζει τις τιμές μιας άγνωστης συνάρτησης μιας ή περισσότερων μεταβλητών και των παραγώγων της πρώτου, δεύτερου ή ανώτερου βαθμού. Οι διαφορικές εξισώσεις παίζουν προεξάρχοντα ρόλο στη Φυσική. Επίσης έχουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στην Τεχνολογία, τα Οικονομικά, τη Βιολογία και άλλα επιστημονικά πεδία.

Συνήθης διαφορική εξίσωση λέγεται μια διαφορική εξίσωση στην οποία η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής.
Μερική διαφορική εξίσωση λέγεται μια διαφορική εξίσωση στην οποία η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση πολλαπλών ανεξάρτητων μεταβλητών και των μερικών παραγώγων τους.
Υστερημένη διαφορική εξίσωση λέγεται η διαφορική εξίσωση στην οποία η παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης σε μια δεδομένη χρονική στιγμή δίδεται σε σχέση με τιμές της συνάρτησης σε προηγούμενες στιγμές.
Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέγεται η διαφορική εξίσωση στην οποία ένας ή περισσότεροι όροι είναι στοχαστικές διαδικασίες, που σημαίνει ότι η λύση είναι και η ίδια στοχαστική διαδικασία.
Διαφορική αλγεβρική εξίσωση είναι η διαφορική εξίσωση που αποτελείται από διαφορικούς και αλγεβρικούς όρους, δοσμένους σε πεπλεγμένη μορφή.

Κάθε μια από αυτές τις κατηγορίες διαιρείται σε γραμμικές και μη γραμμικές υποκατηγορίες. Μια διαφορική εξίσωση λέγεται γραμμική όταν η εξαρτημένη μεταβλητή και όλες οι παράγωγοί της εμφανίζονται στη δύναμη 1 και δεν υπάρχουν γινόμενα ή συναρτήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής. Διαφορετικά η διαφορική εξίσωση λέγεται μη γραμμική. Έτσι, αν το u’ είναι η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης u, τότε η εξίσωση

u’= u

είναι γραμμική ενώ η εξίσωση

u’ = u^2

είναι μη γραμμική. Λύσεις μιας γραμμικής εξίσωσης στην οποία η άγνωστη συνάρτηση ή η παράγωγός (ή παράγωγοί) της εμφανίζονται σε κάθε όρο (γραμμικές ομογενείς εξισώσεις) μπορούν να προστεθούν ή να πολλαπλασιαστούν με οποιαδήποτε σταθερά δίνοντας επιπλέον λύσεις της εξίσωσης, αλλά δεν υπάρχει γενικός τρόπος να βρεθούν οικογένειες λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων, εκτός όταν εκδηλώνουν συμμετρίες (Βλ. συμμετρίες). Γραμμικές εξισώσεις συχνά εμφανίζονται ως προσεγγίσεις σε μη γραμμικές εξισώσεις, και οι προσεγγίσεις αυτές ισχύουν μόνο κάτω από περιορισμένες συνθήκες.

Άλλο ένα σημαντικό χαρακτηριστικό μιας διαφορικής εξίσωσης είναι ο βαθμός της, ο οποίος είναι ο βαθμός της μεγαλύτερης παραγώγου (μιας εξαρτημένης μεταβλητής) που εμφανίζεται στην εξίσωση. Για παράδειγμα, μια διαφορική εξίσωση πρώτου βαθμού περιέχει μόνο πρώτες παραγώγους, όπως στα δύο παραπάνω παραδείγματα.
ΠΗΓΗ Wikipedia

Το άρθρο δημοσιεύτηκε Σάββατο, Νοέμβριος 3rd, 2012 στις 22:34 στην κατηγορία ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Μπορείς να παρακολουθείς τα σχόλια χρησιμοποιώντας το RSS 2.0 feed. Τα σχόλια είναι κλειστά, αλλά μπορείς να αφήσεις ένα trackback από το site σου.